卢卡斯定理

证明

我看了多个证明,最后一步都是转成

\begin{aligned} (1+x)^n &= (1+x)^{sp+q} \\ &=[(1+x)^p]^s \times (1+x)^q &\equiv (1+x^p)^s \times (1+x)^q \quad (mod\quad p) \\ &\equiv \sum_{i=0}^s\binom{s}{i}x^i \times \sum_{j=0}^p \binom{p}{j}x^j \quad (mod\quad p) \end{aligned}

关键在于最后一步:对比系数:比较左式的 $(1+x)^n$ 里 $x^m$ 的系数是 $\binom{n}{m}$ ,然后证明右式的 $x^m$ 的系数是一定只是唯一的,且为 $x^tp \times x^r$ 的系数.然后怎么怎么.

所以上面的最后一步的证明,就是类似的想法: $(a+b) \equiv (c+d) \mod p$ ,所以 $a \equiv c \mod p$ . 我不能接受.

如果谁能理解,请告诉我. mail: rainboylvx@qq.com